- для участников команд Республиканского турнира юных математиков
- для участников подготовки к Международному турниру юных математиков
- И ВООБЩЕ ДЛЯ ВСЕХ ЖЕЛАЮЩИХ ПОДРОБНЕЕ ПОЗНАКОМИТЬСЯ С НЕКОТОРЫМИ РАЗДЕЛАМИ СОВРЕМЕННОЙ МАТЕМАТИКИ
Семинар проходит по вторникам, время начала 16-30 в ауд. 255.
Попутно сообщаем, что работают и другие математические семинары, объявление о которых смотрите
здесь.
Аудитрии можно уточнить по телефону (017) 209-50-70.
Программа семинара
I. Введение в теорию множеств
(Задворный Я.Б., 3 занятия)
1. Понятие множества. Способы задания и примеры парадоксов теории множеств. Операции над множествами.
Принцип включения-исключения. Мощность множеств, понятие эквивалентности. Шкала мощностей. Континуум-гипотеза.
Алгебры и α-алгебры.
2. Частично упорядоченные множества. Принцип трансфинитной индукции.
3. Приложения теории к решению элементарных задач.
II. Дополнительные главы элементарной теории чисел и введение в современную теорию чисел
(Васьковский М.М. или Бодягин И.А., 4 занятия)
1. Сравнения и их свойства. Системы линейных сравнений, китайская теорема об остатках.
2. Квадратичные вычеты. Символы Якоби и Лежандра.
3. Теоремы Ферма и Эйлера. Показатели, первообразные корни, индексы.
4. Основные теоремы о простых числах (критерии простоты, теоремы о распределении).
5. Конечные и бесконечные цепные дроби.
6. Алгебраические и трансцендентные числа. Их алгебраические и аналитические свойства.
7. Приложения к решению элементарных задач на делимость, исследованию диофантовых уравнений, а также в информатике.
III. Введение в аналитическую геометрию и линейную алгебру
(А.И.Рыжиков или Б.В.Задворный, 3 занятия)
1. Точки, прямые, плоскости в R, R2, R3. Способы задания.
2. Вектора в Rn и операции над ними. Скалярное, векторное и смешанное произведение.
3. Комплексные числа в алгебраическом и геометрическом представлении. Операции над ними.
4. Матрицы и определители. Операции над ними и фундаментальные свойства.
5. Приложения к решению элементарных задач (в т.ч. исследование систем линейных алгебраических уравнений, нахождение расстояний и углов между прямыми и плоскостями, приложения комплексных чисел к решению геометрических задач).
IV. Элементы абстрактной алгебры
(Дубров Б.М. или Васьковский М.М., 3 занятия)
1. Бинарные операции и их свойства.
2. Группы. Способы задания. Примеры. Фундаментальные теоремы (о порядках группы, элементов, циклических группах, факторгруппы).
3. Кольца. Примеры. Наиболее употребительные классы колец (области целостности, факториальные кольца, евклидовы кольца). Идеалы, факторкольца.
4. Поля. Примеры. Фундаментальные теоремы о конечных полях. Поля разложения многочленов.
5. Приложения алгебраических структур к решению конкретных задач и доказательству элементарных теорем.
V. Введение в современную комбинаторику, теорию графов
(Орлович Ю.Л. или Жибрик Е.В., 4 занятия)
1. Элементарная комбинаторика: перестановки, сочетания, размещения. Основные принципы.
2. Элементы теории графов. Основные понятия и фундаментальные теоремы теории графов. Основные алгоритмы на графах.
3. Рекуррентные последовательности и возвратные уравнения.
4. Производящие функции. Определения, свойства. Приложения к решению задач.
5. Вероятностные методы в комбинаторике.
VI. Введение в классический и функциональный анализ
(Задворный Я.Б., 4 занятия)
1. Пределы последовательностей и функций. Определения, примеры и свойства.
2. Непрерывные и дифференцируемые функции 1 переменной. Фундаментальные теоремы.
3. Интегралы Римана и Лебега и их смысл. Связь между ними. Основные способы вычислений.
4. Функции нескольких переменных. Частные производные.
5. Исследование экстремума функций.
6. Ряды: числовые и функциональные. Типы и признаки сходимости.
7. Основные функциональные пространства. И их характеристики.
VII. Введение в теорию вероятностей
(Васьковский М.М. или Бодягин И.А., 2 занятия)
1. Элементарная теория вероятностей. Основные вероятностные модели. События и их свойства. Вероятность, условная вероятность. Независимость. Формула полной вероятности.
2. Математические основы теории вероятностей. Понятие вероятностного пространства и случайной величины. Типы случайных величин и их характеристики (функция и плотность распределения, математическое ожидание). Основные распределения. Сходимость последовательностей случайных величин.
3. Классические задачи теории вероятностей.
VIII. Элементы топологии
(Дубров Б.М., 2 занятия)
1. Топология пространства Rn. Открытые, замкнутые множества. Компактность. Связность.
2. Топология функциональных пространств C[a,b] и C(R).
3. Задание топологии на произвольном множестве. Свойства метрик, норм, скалярных произведений. Понятие гомеоморфизмов пространств.
Примечание. В программе возможны изменения и дополнения.
Наши координаты:
|
