ДВАДЦАТЬ СЕДЬМОЙ ТУРНИР ГОРОДОВ

Задачи весеннего тура

Тренировочный вариант   19 февраля 2006 г.

Итог подводится по трем задачам, по которым достигнуты наилучшие результаты


Баллы за пункты одной задачи суммируются

6-7-8¢ классы

Баллы	Задачи
1  2	1. а) Таблица 10x10 заполнена по правилу: во всех клетках первого столбца записаны 1, во всех клетках второго - 2, ..., во всех клетках 10-го - 10. Числа на диагонали, соединяющей левое верхнее число с правым нижним, стерли. Докажите, что суммы чисел по разные стороны от этой диагонали отличаются ровно в два раза. б) Докажите аналогичное утверждение для таблицы nxn.
3	2. Дано положительное число a. Известно, что неравенство 0 < x < a имеет ровно два решения в целых числах x. Сколько решений в целых числах x может иметь неравенство a < x < 2a? Укажите все возможности.
1  3	3. а) Все вершины правильной четырехугольной пирамиды срезали плоскостями-ножами близко от самих вершин (то есть так, чтобы плоскости-ножи не пересекались друг с другом внутри или на границе пирамиды). Найдите у полученного многогранника число вершин и число ребер. б) Такую же операцию совершили с вершинами полученного в пункте а) многогранника. Найдите число вершин и ребер у вновь полученного многогранника.
2  2	4. а) Команде из трех знатоков - Ани, Бори и Вити - дали следующее задание. Каждому из них вручили несколько фантиков: Ане - 7, Боре - 11, Вите - 13. За одну операцию разрешается одному из них передать кому-то другому столько фантиков, сколько у того уже имеется (передавать разрешается в любой очередности). Им необходимо за несколько таких операций добиться того, чтобы у кого-то не стало ни одного фантика. Помогите им? б) А можно ли выполнить это задание, если первоначально у них 1, 41 и 80 фантиков?
2  5	5. У Пети есть n3 белых кубиков 1x1x1. Он хочет сложить из них куб nxnxn, снаружи полностью белый. Какое наименьшее число граней кубиков должен Вася закрасить, чтобы помешать Пете? Решите задачу, если: а) n = 2; б) n = 3.

8-9 классы

Баллы	Задачи
3	1. В треугольнике ABC угол A равен 60 градусов. Серединный перпендикуляр к стороне AB пересекает прямую AC в точке N. Серединный перпендикуляр к стороне AС пересекает прямую AB в точке M. Докажите, что СB=MN.
3	2. Таблица nxn заполнена по правилу: во всех клетках первого столбца записаны 1, во всех клетках второго - 2, ..., в клетках n-го - n. Числа на диагонали, соединяющей левое верхнее число с правым нижним, стерли. Докажите, что суммы чисел по разные стороны от этой диагонали отличаются ровно в два раза.
4	3. Дано положительное число a. Известно, что неравенство 1 < xa < 2 имеет ровно 3 решения в целых числах x. Сколько решений в целых числах x может иметь неравенство 2 < xa < 3? Укажите все возможности.
3  3	4. Аня, Боря и Витя сидят по кругу за столом и едят орехи. Сначала все орехи у Ани. Она делит их поровну между Борей и Витей, а остаток (если он есть) съедает. Затем все повторяется: каждый следующий (по часовой стрелке) делит имеющиеся у него орехи поровну между соседями, а остаток (если он есть) съедает. Орехов много (больше 3). Докажите, что: а) хотя бы один орех будет съеден; б) все орехи не будут съедены.
2  4	5. У Пети есть n3 белых кубиков 1x1x1. Он хочет сложить из них куб nxnxn, снаружи полностью белый. Какое наименьшее число граней кубиков должен Вася закрасить, чтобы помешать Пете? Решите задачу, если: а) n = 2; б) n = 3.

10-11 классы

Баллы	Задачи
1  2	1. Имеется выпуклый многогранник со 100 ребрами. Все его вершины срезали плоскостями-ножами близко от самих вершин (то есть так, чтобы плоскости-ножи не пересекались друг с другом внутри или на границе многогранника). Найдите у полученного многогранника а) число вершин; б) число ребер.
3	2. Найдутся ли такие функции p(x) и q(x), что p(x) - четная функция, а p(q(x)) - нечетная функция (отличная от тождественно нулевой)?
4	3. Дано положительное число a. Известно, что неравенство 10 < ax < 100 имеет ровно 5 решения в целых числах x. Сколько решений в целых числах x может иметь неравенство 100 < ax < 1000? Укажите все возможности.
5	4. Четырехугольник ABCD вписанный, AB = AD. На стороне BC взята точка M, а на стороне CD - точка N так, что угол MAN равен половине угла BAD. Докажите, что MN = BM + ND.
3  3	5. У Пети есть n3 белых кубиков 1x1x1. Он хочет сложить из них куб nxnxn, снаружи полностью белый. Какое наименьшее число граней кубиков должен Вася закрасить, чтобы помешать Пете? Решите задачу, если: а) n = 3; б) n = 1000.