| Очки |
Задачи |
| 3
|
1. |
На
координатной плоскости нарисованы четыре графика функций вида y =
x2+ax+b, где a, b — числовые коэффициенты. Известно, что есть ровно
четыре точки пересечения, причем в каждой пересекаются ровно два
графика. Докажите, что сумма наибольшей и наименьшей из абсцисс
точек пересечения равна сумме двух других абсцисс. |
|
|
2. |
Все
натуральные числа выписали подряд без промежутков на бесконечную
ленту: 123456789101112... . Затем ленту разрезали на полоски по 7
цифр в каждой. Докажите, что любое семизначное число |
| 3
|
|
а)
встретится хотя бы на одной из полосок; |
| 1
|
|
б)
встретится на бесконечном числе полосок. |
| 4
|
3. |
Дан
квадрат ABCD, M и N — середины сторон BC и AD соответственно. На
продолжении диагонали AC за точку A взяли точку K. Отрезок KM
пересекает сторону AB в точке L. Докажите, что углы KNA и LNA равны.
|
| 4
|
4. |
В
некотором городе каждая улица идет либо с севера на юг, либо с
востока на запад. Автомобилист совершил прогулку по этому городу,
сделав ровно сто поворотов налево. Сколько поворотов направо он мог
сделать при этом, если никакое место он не проезжал дважды и в конце
вернулся назад? (Движение по каждой улице двустороннее.) |
| 5
|
5. |
Сумма
нескольких положительных чисел равна 10, а сумма квадратов этих
чисел больше 20. Докажите, что сумма кубов этих чисел больше 40.
|
