| Баллы |
Задачи |
|
|
1.
|
Можно ли целые числа от 1 до 2004 расставить в некотором порядке так, чтобы:
|
1
|
|
а) сумма любых двух рядом стоящих чисел была четной;
|
1
|
|
б) сумма любых трех подряд идущих чисел делилась на три;
|
2
|
|
в) сумма любых трех подряд идущих чисел делилась на два.
|
|
4
|
2.
|
Имеются 2004 гирьки с весами 1 г, 2 г, 3 г, …, 2004 г. Сможете ли вы разложить на три равные по весу кучки?
|
|
4
|
3.
|
Над имеющимся числом разрешается выполнять следующие две операции: умножать его на 2 или прибавлять к нему 2. За какое минимальное число операций вы сможете получить из единицы 300?
|
|
5
|
4.
|
В ящике лежат 111 шариков красного, синего, зеленого и белого цвета. Если, не заглядывая в ящик, вытащить 100 шариков, то среди них обязательно найдутся четыре шарика различных цветов. Какое наименьше число шариков нужно вытащить, не заглядывая в ящик, чтобы среди них наверняка нашлись три шарика различных цветов?
|
|
|
5.
|
В игре «Десант» две армии захватывают страну, в которой не менее четырех городов. Они ходят по очереди, каждым своим ходом, захватывая один из свободных городов. Первый свой город каждая армия захватывает с воздуха, а следующими ходами она может захватить любой город, соединенный дорогой с каким-нибудь уже захваченным ею городом и незанятый другой армией. Если таких городов нет, армия прекращает свои боевые действия (при этом возможно, что другая армия свои действия продолжает). Найдите такие схемы городов и дорог (или докажите, что их не существует), что:
|
|
1
|
|
а) армия, ходящая первой, сможет захватить по крайней мере две трети всех городов;
|
|
2
|
|
б) армия, ходящая первой, сможет захватить ровно две трети всех городов;
|
|
3
|
|
в) армия, ходящая второй, сможет захватить по крайней мере на один город больше, чем первая армия.
|
