 |
27 февраля 2005 г.
•
Итог подводится по трем задачам, по которым достигнуты наилучшие
результаты
• Очки за пункты одной задачи суммируются
| Очки |
Задачи |
| 4
|
1. |
На
графике квадратного трехчлена с целыми коэффициентами отмечены две
точки с целыми координатами. Докажите, что если расстояние между
ними - целое число, то соединяющий их отрезок параллелен оси
абсцисс. |
| 5
|
2. |
Высоты
AA' и BB' треугольника ABC пересекаются в точке H. Точки X и Y –
середины отрезков AB и CH соответственно. Докажите, что прямые XY и
A'B' перпендикулярны. |
| 5
|
3. |
На
циферблате правильно идущих часов барона Мюнхгаузена есть только
часовая, минутная и секундная стрелки, а все цифры и деления стерты.
Барон утверждает, что может определять время по этим часам,
поскольку, по его наблюдению, на них в течение дня (с 8-00 до 19-59)
не повторяется два раза одно и то же расположение стрелок. Верно ли
наблюдение барона? (Стрелки имеют различную длину, движутся
равномерно.) |
|
|
4. |
Клетчатый
бумажный прямоугольник размером 10x12 клетки согнули несколько раз
по линиям клеток так, что получился квадратик 1x1. Сколько частей
могло получиться после того, как этот квадратик разрезали по
отрезку, соединяющему: |
| 2
|
|
а)
середины двух его противоположных сторон; |
| 4
|
|
б)
середины двух его соседних сторон? |
|
|
|
(Найдите
все ответы и докажите, что других нет.) |
| 6
|
5. |
Конструктор
состоит из набора прямоугольных параллелепипедов. Все их можно
поместить в одну коробку, также имеющую форму прямоугольного
параллелепипеда. В бракованном наборе у каждого параллелепипеда одно
из ребер оказалось меньше стандартного. Можно ли утверждать, что у
коробки, в которую складывается набор, тоже можно уменьшить одно из
ребер? (Параллелепипеды укладываются в коробку так, что их ребра
параллельны ребрам коробки.) |
| 6
|
6. |
Фома и
Ерема делят кучу из 25 монет в 1, 2, 3, ... , 25 алтынов. На каждом
ходу один из них выбирает монету из кучи, а другой говорит, кому ее
отдать. Первый раз выбирает Фома, далее тот, у кого сейчас больше
алтынов, при равенстве –тот же, кто в прошлый раз. Может ли Фома
действовать так, чтобы в итоге обязательно получить больше алтынов,
чем Ерема, или Ерема всегда сможет Фоме помешать? |
| 8
|
7. |
Клетки
шахматной доски 8x8 занумерованы по диагоналям, идущим влево вниз,
начиная с верхнего левого угла: 1; следующая диагональ — 2, 3;
следующая — 4, 5, 6; и так далее (предпоследняя диагональ — 62, 63;
последняя — 64). Петя расставил на доске 8 фишек так, чтобы в каждой
строке и в каждом столбце оказалось по одной фишке. Затем он
переставил фишки так, чтобы каждая фишка попала на клетку с большим
номером. Могло ли по-прежнему в каждой строке и в каждом столбце
оказаться по одной фишке? |
|
 |
