 |
27 февраля 2005
г.
• Итог подводится по трем задачам, по которым достигнуты
наилучшие результаты
• Очки за пункты одной задачи суммируются
| Очки |
Задачи |
| 4
|
1. |
На
графике многочлена с целыми коэффициентами отмечены две точки с
целыми координатами. Докажите, что если расстояние между ними -
целое число, то соединяющий их отрезок параллелен оси абсцисс.
|
| 5
|
2. |
Окружность
W1 проходит через центр окружности W2. Из
точки C на W1 проведены касательные к W2,
вторично пересекающие W1 в точках A и B. Докажите, что
отрезок AB перпендикулярен прямой, проходящей через центры
окружностей. |
| 5
|
3. |
Фома и
Ерема делят кучу из 25 монет в 1, 2, 3, ..., 25 алтынов. На каждом
ходу один из них выбирает монету из кучи, а другой говорит, кому ее
отдать. Первый раз выбирает Фома, далее тот, у кого сейчас больше
алтынов, при равенстве — тот же, кто в прошлый раз. Может ли Фома
действовать так, чтобы в итоге обязательно получить больше алтынов,
чем Ерема, или Ерема всегда сможет Фоме помешать? |
| 6
|
4. |
Существует
ли такой квадратный трехчлен f(x), что для любого целого
положительного n уравнение f(f (...f (x))) = 0 (здесь n букв "f")
имеет ровно 2n различных действительных корней? |
| 7
|
5. |
Икосаэдр
и додекаэдр вписаны в одну и ту же сферу. Докажите, что тогда они
описаны вокруг одной и той же сферы. (Напомним, что у икосаэдра 20
одинаковых граней в виде правильного треугольника, в каждой вершине
сходится 5 граней, углы между соседними гранями одинаковы; у
додекаэдра 12 одинаковых граней в виде правильного пятиугольника, в
каждой вершине сходится 3 грани, углы между соседними гранями
одинаковы.) |
| 7
|
6. |
Пусть a
— угловая клетка шахматной доски 8x8, b — соседняя с ней по
диагонали клетка. Докажите, что число способов обойти всю доску
«хромой ладьей», начиная с клетки a, больше, чем число способов
обойти всю доску «хромой ладьей», начиная с клетки b. («Хромая
ладья» ходит по доске на одну клетку по вертикали или горизонтали.
Ладья должна побывать на каждой клетке доски ровно один раз.) |
|
|
7. |
В
пространстве даны 200 точек. Каждые две из них соединены отрезком,
причем отрезки не пересекаются друг с другом. Каждый отрезок
покрашен в один из K цветов. Петя хочет покрасить в один из тех же
цветов каждую точку так, чтобы не нашлось двух точек и отрезка между
ними, окрашенных в один цвет. Всегда ли Пете это удастся, если
|
| 4
|
|
а)
K=7; |
| 4
|
|
б)
K=10? |
|
 |
