| Очки |
Задачи |
|
4
|
1.
|
Назовем треугольник рациональным, если все его углы измеряются рациональным числом градусов. Назовем точку внутри треугольника рациональной, если, соединив ее отрезками с вершинами, мы получим три рациональных треугольника. Докажите, что внутри любого остроугольного рационального треугольника найдутся как минимум три различные рациональные точки.
|
|
5
|
2.
|
Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается сторон BC, CA и AB в точках A', B' и C' соответственно. Известно, что AA' = BB' = CC'. Обязательно ли тогда треугольник ABC равносторонний?
|
|
6
|
3.
|
Какое наибольшее число коней можно расставить на шахматной доске 8x8, так чтобы каждый бил не более семи из остальных?
|
|
6
|
4.
|
Ваня задумал два положительных числа x и y. Он записал числа x+y, x-y, xy и x/y и показал Пете, но не сказал, какое число какой операцией получено. Докажите, что Петя может однозначно восстановить x и y.
|
|
7
|
5.
|
В треугольнике ABC на стороне BC отмечена точка K. В треугольники ABK и ACK вписаны окружности, первая касается стороны BC в точке M, вторая – в точке N. Докажите, что BMxCN > KMxKN.
|
|
8
|
6.
|
Двое делят кусок сыра. Сначала первый режет сыр на два куска, потом второй – любой из кусков на два и так далее, пока не получится 5 кусков. Затем первый берет себе один кусок, потом второй - один из оставшихся кусков, потом снова первый - и так, пока куски не закончатся. Для каждого игрока выясните, какое наибольшее количество сыра он может себе гарантировать, как бы ни играл его соперник.
|
|
8
|
7.
|
A и B – два прямоугольника. Из прямоугольников, равных A, сложили прямоугольник, подобный B. Докажите, что из прямоугольников, равных B, можно сложить прямоугольник, подобный A.
|
