Очки |
Задачи |
5
|
1.
|
Функции f и g определены на всей числовой прямой и взаимно обратны, то есть g(f(x)) = x и f(g(y)) = y для любых чисел x и y. Известно, что f представляется в виде суммы линейной и периодической функций (то есть f(x) = kx+h(x), где k – число, h – периодическая функция). Докажите, что g также представляется в таком виде. (Функция h, определенная на всей числовой прямой, называется периодической, если найдется такое ненулевое число d, что h(x+d) = h(x) для любого числа x).
|
5
|
2.
|
Двое играют в следующую игру. Есть кучка камней. Первый каждым своим ходом берет 1 или 10 камней. Второй каждым своим ходом берет m или n камней. Ходят по очереди, начинает первый. Тот, кто не может сделать хода, проигрывает. Известно, что при любом начальном количестве камней первый всегда может играть так, чтобы выиграть (при любой игре второго). Какими могут быть m и n?
|
5
|
3.
|
Ваня задумал два положительных числа x и y. Он записал числа x+y, x–y, xy и x/y и показал Пете, но не сказал, какое число какой операцией получено. Докажите, что Петя может однозначно восстановить x и y.
|
6
|
4.
|
Окружность с центром I лежит внутри окружности с центром O. Найдите геометрическое место центров описанных окружностей треугольников IAB, где AB – хорда большей окружности, касающаяся меньшей.
|
7
|
5.
|
A и B – два прямоугольника. Из прямоугольников, равных A, сложили прямоугольник, подобный B. Докажите, что из прямоугольников, равных B, можно сложить прямоугольник, подобный A.
|
8
|
6.
|
Дано целое число n, не делящееся ни на 2, ни на 3. Назовем треугольник разрешенным, если все его углы имеют вид (m·180°) / n, где m - целое. Одинаковыми будем считать разрешенные треугольники с одинаковым набором углов (то есть подобные). Вначале дан один разрешенный треугольник. Каждую минуту один из имеющихся треугольников разрезают на два разрешенных так, чтобы после разрезания все имеющиеся треугольники были не одинаковыми (то есть не подобными). Спустя некоторое время оказалось, что ни один из треугольников так разрезать нельзя. Докажите, что к этому моменту среди имеющихся частей есть все возможные разрешенные треугольники.
|
8
|
7.
|
Углы AOB и COD совмещаются поворотом так, что луч ОА совмещается с лучом ОС, а луч ОВ – с OD. В них вписаны окружности, пересекающиеся в точках E и F. Докажите, что углы AOE и DOF равны.
|